Règles des Logarithmes 2

Continuation des propriétés de base des logarithmes

Dans le premier ensemble de règles des logarithmes, nous avons appris les règles de base pour les produits, les quotients, les puissances, le changement de base et les cas spéciaux du logarithme de l'unité et du logarithme de la base. Nous allons maintenant approfondir notre compréhension de ces règles, en particulier dans le contexte d'expressions composées, d'exposants négatifs, de racines, de valeur absolue et de prise du logarithme des deux côtés d'une équation.

Logarithmes de racines

Puisqu'une racine peut être écrite comme une puissance, nous utilisons la règle de la puissance :

√x = x^(1/2), donc :

log_b(√x) = log_b(x^(1/2)) = (1/2) * log_b(x)

Pour une racine n-ième :

ⁿ√x = x^(1/n), donc :

log_b(ⁿ√x) = (1/n) * log_b(x)

Exemple :

log₃(√9) = log₃(9^(1/2)) = (1/2) * log₃(9) = (1/2) * 2 = 1

Exposant négatif dans le logarithme

Si nous avons un logarithme d'une puissance avec un exposant négatif, nous appliquons également la règle de la puissance :

log_b(x⁻ⁿ) = -n * log_b(x)

Exemple :

log₁₀(10⁻²) = -2 * log₁₀(10) = -2 * 1 = -2

Logarithme de la valeur absolue

Le logarithme n'est défini que pour les arguments positifs ; par conséquent, dans certains contextes, nous utilisons la valeur absolue :

Lorsque la forme générale de la fonction est exprimée, il arrive souvent que pour une expression comme log_b(|x|), la définition soit valide pour les valeurs négatives de x car nous ne prenons que le logarithme de la partie positive (la valeur absolue).

Exemple :

log₁₀(-5) → non défini dans les nombres réels

log₁₀(|-5|) = log₁₀(5) → défini

Prise du logarithme des deux côtés d'une équation

Une technique importante pour résoudre des équations où l'inconnue est dans l'exposant consiste à prendre le logarithme des deux côtés :

Si a^x = b, alors nous pouvons appliquer un logarithme de n'importe quelle base pratique (communément log base 10, ou ln base e) aux deux côtés :

log(a^x) = log(b)

En utilisant la règle de la puissance, cela devient :

x * log(a) = log(b)

Donc :

x = log(b) / log(a)

Exemple :

3^x = 81

Prendre log base 10 des deux côtés :

log₁₀(3^x) = log₁₀(81)

Appliquer la règle de la puissance :

x * log₁₀(3) = log₁₀(81)

Résoudre pour x :

x = log₁₀(81) / log₁₀(3) ≈ 1,908 / 0,477 ≈ 4

(Alternativement, remarquez que 81 = 3⁴, donc 3^x = 3⁴, donc x = 4 directement en égalisant les exposants si les bases sont les mêmes).

Répétitions et points clés

• Une racine peut être écrite comme une puissance avec l'exposant 1/n (par exemple, ⁿ√x = x^(1/n)).
• Le logarithme d'un nombre négatif n'est pas défini dans les nombres réels.
• Dans les expressions impliquant une puissance à l'intérieur d'un logarithme, l'exposant est ramené devant le logarithme comme multiplicateur.
• Prendre le logarithme des deux côtés d'une équation est essentiel pour résoudre des équations exponentielles.

Conclusion

Le deuxième groupe de règles pour les logarithmes étend les connaissances de base vers la résolution d'expressions et d'équations plus complexes. En utilisant les logarithmes de racines, d'exposants négatifs, de valeur absolue et en prenant le logarithme des deux côtés des équations, nous obtenons des outils avancés qui sont essentiels pour travailler avec des expressions exponentielles et la fonction logarithmique. Ces règles sont particulièrement importantes pour la résolution analytique de problèmes, la modélisation de données et la préparation à un contenu mathématique plus complexe.