Règles des Logarithmes 1

Introduction aux logarithmes et leurs règles

Les logarithmes sont des outils mathématiques utilisés pour résoudre des équations où l'inconnue est dans l'exposant. La définition fondamentale d'un logarithme stipule que log_b(x) = y si et seulement si b^y = x, où 'b' est un nombre positif différent de 1, et 'x' est un nombre réel positif. Pour faciliter le travail avec les logarithmes, il existe des règles établies dérivées des lois de l'exponentiation qui permettent de simplifier et de reformuler les expressions logarithmiques.

Règles de base pour les logarithmes

Règle du produit

Le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme des logarithmes des facteurs individuels :

log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y)

Exemple : log₂(8) = log₂(4 * 2) = log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3

Règle du quotient

Le logarithme du quotient de deux nombres est égal à la différence de leurs logarithmes :

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Exemple : log₂(8 / 4) = log₂(8) - log₂(4) = 3 - 2 = 1

Règle de la puissance

Le logarithme d'une puissance est égal au produit de l'exposant et du logarithme de la base de la puissance :

log_b(xⁿ) = n * log_b(x)

Exemple : log₂(8) = log₂(2³) = 3 * log₂(2) = 3 * 1 = 3

Règle de changement de base

Le logarithme en base 'b' peut être exprimé en utilisant le logarithme de toute autre base 'c' :

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Exemple : log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2) ≈ 0,903 / 0,301 ≈ 3

Logarithme de l'unité et logarithme de la base

• log_b(1) = 0, puisque b⁰ = 1
• log_b(b) = 1, puisque b¹ = b

Exemples :

log₂(1) = 0

log₂(2) = 1

Relation avec les fonctions exponentielles

Le logarithme est la fonction inverse de la fonction exponentielle. Cela signifie :

Si b^y = x, alors y = log_b(x).

Exemple pour résoudre une équation :

Si nous avons 2^x = 8, alors en prenant le logarithme des deux côtés (en base 2) :

x = log₂(8) = 3

Conclusion

Les règles pour les logarithmes sont fondamentales pour comprendre et travailler avec les logarithmes. Elles nous permettent de :

• Simplifier des expressions complexes
• Résoudre des équations logarithmiques
• Convertir entre différentes bases de logarithmes
• Travailler avec précision en algèbre et en analyse

La connaissance de ces règles nous fournit un outil plus puissant pour maîtriser les expressions exponentielles et une compréhension mathématique plus large.