Dérivé – Exercice 1

Explication

5 minutes

La dérivée mesure la variation d’une fonction par rapport à sa variable. Elle donne les pentes des tangentes, les extrémums (maximums et minimums) et les points d’inflexion. Ci-dessous, un rappel concis et trois exercices résolus pas à pas avec la règle de puissance.

Concepts de base

La dérivée de f(x) en x se définit comme la limite du taux de variation moyen quand h tend vers 0:

f'(x) = lim_{h->0} ( f(x + h) - f(x) ) / h

Cette définition fonde toutes les règles de dérivation.

Règles de dérivation

Dérivée d’une constante: d/dx(c) = 0
Règle de puissance: d/dx(x^n) = n*x^(n-1)
Facteur constant: d/dx(kx^n) = kn*x^(n-1)
Somme et différence: dériver terme à terme
Règle du produit: d/dx( f(x)*g(x) ) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
Règle du quotient: d/dx( f(x)/g(x) ) = ( f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) ) / ( g(x) )^2
Règle de la chaîne: d/dx( f(g(x)) ) = f'(g(x))*g'(x)

Exemples

Exemple 1
f(x) = x^-3. Avec n = -3:
f'(x) = -3x^(-3-1) = -3x^-4
(Optionnel) f'(x) = -3/(x^4), avec x != 0.

Exemple 2
f(x) = 3x^8 + x^-2. Terme par terme:
d/dx(3x^8) = 38x^(8-1) = 24x^7
d/dx(x^-2) = -2x^(-2-1) = -2x^-3
Au total: f'(x) = 24x^7 - 2x^-3
(Optionnel) f'(x) = 24x^7 - 2/(x^3), x != 0.

Exemple 3
f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 6x + 8.
d/dx(3x^4) = 12x^3
d/dx(-5x^3) = -15x^2
d/dx(2x^2) = 4x
d/dx(6x) = 6
d/dx(8) = 0
Résultat: f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x + 6

Usages des dérivées

Elles servent à trouver des taux instantanés, optimiser, analyser la concavité et les points d’inflexion et constituent la base des intégrales et EDO.