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"Pour la prochaine génération."
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L'intégration par introduction d'une nouvelle variable, également connue sous le nom de méthode de substitution (ou u-substitution), est une technique clé en calcul intégral. Cette approche permet la simplification d'intégrales complexes qui seraient autrement difficiles à résoudre. La technique est basée sur le remplacement de la variable originale par une nouvelle, ce qui conduit à une forme plus simple de l'intégrale.
La méthode nécessite que nous choisissions une substitution appropriée pour la variable, généralement dans le but de réduire la complexité de l'intégrale.
Lors de l'intégration par introduction d'une nouvelle variable (méthode de substitution), les étapes suivantes sont généralement utilisées :
Trouver une substitution appropriée, souvent sous la forme u = g(x), qui simplifie l'intégrale donnée. Le choix de 'u' est souvent une partie de l'intégrande dont la dérivée est également présente (ou peut être facilement formée).
Calculer du comme la dérivée de g(x) par rapport à x, et multiplier par dx. Donc, si u = g(x), alors du = g′(x)dx.
Remplacer toutes les expressions dans l'intégrale impliquant x et dx par les expressions correspondantes en termes de u et du. L'intégrale entière devrait maintenant être en termes de 'u'.
Effectuer l'intégration par rapport à la nouvelle variable 'u'.
Après l'intégration, substituer 'u' en termes de 'x' en utilisant la substitution originale u = g(x).
La méthode de substitution est largement applicable dans divers contextes mathématiques, y compris l'intégration de fonctions contenant des polynômes, des fonctions trigonométriques, des fonctions exponentielles et bien d'autres.
L'intégration par introduction d'une nouvelle variable (méthode de substitution) est un outil puissant en calcul intégral. Elle nous permet d'aborder un large éventail d'intégrales qui seraient difficiles à résoudre sans cette méthode. La clé pour utiliser avec succès cette méthode réside dans la compétence de choisir la bonne substitution qui simplifie le problème au point que l'intégration devient réalisable.
