Graphique d'une Fonction Rationnelle

Introduction et importance de la représentation graphique

Une fonction rationnelle est donnée sous la forme :

f(x) = P(x) / Q(x),

où P(x) et Q(x) sont des polynômes, et Q(x) ≠ 0. Son graphique n'est pas une courbe continue comme celle des polynômes mais contient des ruptures caractéristiques, des asymptotes, des trous et d'autres points spéciaux. Le but du graphique est de montrer le comportement de la fonction autour de ses zéros et des points où elle n'est pas définie.

Étapes pour tracer une fonction rationnelle

Déterminer le domaine (Df)

Le domaine Df comprend tous les nombres réels sauf ceux où Q(x) = 0. Ces points sont exclus car la division par zéro n'est pas autorisée.

Exemple : f(x) = (x² - 1) / (x - 2) → Q(x) = x - 2 → Df = ℝ \ {2} (tous les nombres réels sauf 2)

Simplifier la fonction (si possible)

Parfois, le numérateur et le dénominateur peuvent être factorisés et les facteurs communs annulés. N'oubliez pas que les points correspondant aux facteurs annulés du dénominateur représentent toujours des trous et ne sont pas dans le domaine.

Exemple : f(x) = (x² - 1) / (x - 2) = [(x - 1)(x + 1)] / (x - 2). (Aucun facteur commun à annuler ici).

Déterminer les zéros (intersections avec l'axe des x) de la fonction

Les zéros sont les solutions de l'équation P(x) = 0, à condition que Q(x) ≠ 0 à ces points. Ces points correspondent aux intersections avec l'axe des x.

Dans l'exemple ci-dessus : P(x) = (x - 1)(x + 1) → Zéros : x = -1, x = 1.

Déterminer l'ordonnée à l'origine

Substituer x = 0, si 0 ∈ Df :

Exemple : f(0) = (0² - 1) / (0 - 2) = -1 / (-2) = 0,5. L'ordonnée à l'origine est (0, 0,5).

Trouver les asymptotes verticales

Celles-ci se produisent aux valeurs de x où Q(x) = 0 après simplification (c'est-à-dire que le facteur au dénominateur ne s'est pas annulé avec un au numérateur), et P(x) ≠ 0 à ces valeurs de x. À ces points, la fonction tend vers ±∞, et le graphique s'approche d'une ligne verticale.

Exemple : Pour f(x) = (x² - 1)/(x - 2), Q(x) = x - 2 → Asymptote verticale en x = 2.

Trouver les asymptotes horizontales ou obliques

Celles-ci sont déterminées en comparant les degrés du numérateur P(x) et du dénominateur Q(x) :

Si deg P < deg Q → Asymptote horizontale y = 0.

Si deg P = deg Q → Asymptote horizontale y = aₙ/bₙ (rapport des coefficients dominants).

Si deg P > deg Q :

Si deg P = deg Q + 1 → Asymptote oblique, trouvée par division polynomiale longue.

Si deg P > deg Q + 1 → Pas d'asymptote horizontale ou oblique (comportement de type polynomial).

Exemple : f(x) = (2x² + 1) / (x² - 3) → deg P = deg Q = 2. Asymptote horizontale : y = 2/1 = 2.

Identifier les trous dans le graphique (discontinuités amovibles)

Si un facteur (x - c) apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur et peut être annulé, alors il y a un trou dans le graphique en x = c. La fonction n'est pas définie en x=c, mais le graphique s'approche du point qui existerait si la fonction était définie là.

Exemple : f(x) = [(x - 1)(x + 2)] / (x - 1). Cela se simplifie en f(x) = x + 2, pour x ≠ 1.

→ Le graphique est une ligne droite avec un trou en x = 1. Pour trouver la coordonnée y du trou, insérez x=1 dans l'expression simplifiée : y = 1 + 2 = 3. Trou en (1, 3).

Analyser le comportement autour des asymptotes et des points clés

À gauche et à droite d'une asymptote verticale, la fonction tend souvent vers +∞ ou -∞. Testez des points pour déterminer la direction.

Pour de grandes valeurs de |x|, le graphique de la fonction « s'approche » de l'asymptote horizontale ou oblique.

Le signe de la fonction peut être déterminé dans les intervalles entre les zéros et les asymptotes verticales.

Exemple d'une analyse complète

f(x) = (x² - 4) / (x - 1)

Simplifier : f(x) = [(x - 2)(x + 2)] / (x - 1) (Aucun facteur commun)

Domaine (Df) : ℝ \ {1}

Zéros : P(x) = (x - 2)(x + 2) = 0 → x = -2, x = 2.

Ordonnée à l'origine : f(0) = (0² - 4) / (0 - 1) = -4 / -1 = 4. Point (0, 4).

Asymptote verticale : Q(x) = x - 1 = 0 → x = 1.

Asymptote horizontale/oblique : Le degré de P(x) est 2, le degré de Q(x) est 1. Puisque deg P = deg Q + 1, il y a une asymptote oblique. Effectuez une division polynomiale longue de (x² - 4) par (x - 1).

Le quotient est x + 1 et le reste est -3.

Donc, f(x) = x + 1 - 3/(x - 1). L'asymptote oblique est y = x + 1.

Conclusion

Le graphique d'une fonction rationnelle contient des informations importantes sur les zéros, les asymptotes, les points de rupture (discontinuités) et le comportement de la fonction pour de grandes valeurs de |x|. Une analyse minutieuse du numérateur et du dénominateur permet une compréhension graphique complète de la fonction. Une attention particulière doit être portée aux asymptotes et aux trous, car ceux-ci déterminent les caractéristiques principales du tracé du graphique.