Périmètre et aire d’un triangle

Périmètre du triangle : formule de base et exemple

Le périmètre (O) est la somme des trois côtés : O = a + b + c. Note toujours les unités (p. ex. cm). Exemple : un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm a O = 3 + 4 + 5 = 12 cm. Si tu ne connais que deux côtés et un angle ou une hauteur, tu ne peux pas calculer directement le périmètre : détermine d’abord le côté manquant (avec la loi des cosinus ou le théorème de Pythagore pour un triangle rectangle).

Aire : de la formule de base à la formule de Héron

La formule de base pour l’aire (P) est P = (a · h_a)/2, où h_a est la hauteur relative au côté a. Si tu connais deux côtés et l’angle compris γ, utilise P = (1/2)ab sin γ. Quand seuls les trois côtés sont connus, applique la formule de Héron : calcule d’abord le demi-périmètre s = (a + b + c)/2, puis P = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). C’est particulièrement utile quand les hauteurs sont inconnues mais les longueurs des côtés sont données.

Cas particuliers : rectangle, isocèle, équilatéral

Pour un triangle rectangle de cathètes p et q, on a P = (p · q)/2 et O = p + q + √(p² + q²). Pour l’isocèle, on obtient la hauteur sur la base en la partageant en deux et en appliquant Pythagore. Pour l’équilatéral de côté a, O = 3a et P = (a²√3)/4. Ces formes « spéciales » font gagner du temps et servent de contrôle de plausibilité rapide.

Erreurs fréquentes et vérifications rapides

(1) Vérifie l’inégalité triangulaire : pour toute paire de côtés, a + b > c (cycliquement). (2) N’oublie pas les unités et un arrondissement raisonnable. (3) Avec Héron, l’expression sous la racine ne doit pas être négative — sinon les données sont incompatibles. (4) Test rapide : pour côtés 7, 8 et 5, O = 20 cm, s = 10 cm et P = √(10 · 3 · 2 · 5) = √300 ≈ 17,32 cm². Le résultat est logiquement inférieur à une estimation grossière via base et hauteur, donc plausible. Pour les examens : fais un croquis, marque les données, choisis la bonne formule, puis calcule.