Fonction

Quelle est la définition d'une fonction ?

En mathématiques, une fonction est une règle qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ, appelé l'ensemble de définition (ou domaine), un unique élément dans un ensemble d'arrivée. On peut voir ça comme une machine : vous y mettez une valeur x (la variable indépendante), et la machine vous sort une seule et unique valeur y (la variable dépendante).

Symboliquement, on écrit : f : D -> Z. Cela signifie que la fonction f applique une règle à tout élément x de l'ensemble D pour donner un résultat y dans l'ensemble Z, tel que f(x) = y.

Comment représenter une fonction ?

Une fonction peut être décrite de plusieurs manières, selon le contexte. Chaque représentation offre une perspective différente sur la relation entre les variables.

• Par une formule : C'est la manière la plus courante. Par exemple, f(x) = x^2 + 2. Cette formule nous dit exactement quelle opération effectuer sur x.
• Par un tableau de valeurs : On liste les entrées (x) et les sorties (y) correspondantes. C'est très utile pour visualiser des points spécifiques.
• Par un graphique : La représentation graphique dans un repère cartésien permet de visualiser le comportement global de la fonction.
• Par une description textuelle : On peut décrire la relation avec des mots, par exemple, "la fonction qui associe à chaque nombre son double augmenté de un."

Ensemble de définition et ensemble image

Deux concepts sont fondamentaux pour analyser une fonction :

1. L'ensemble de définition (noté Df) : C'est l'ensemble de toutes les valeurs x pour lesquelles la fonction est "calculable" ou a un sens. Par exemple, la fonction f(x) = sqrt(x) (racine carrée de x) n'est définie que pour les x positifs ou nuls. Son ensemble de définition est donc Df = [0, +l'infini).
2. L'ensemble image (noté Zf ou Im(f)) : C'est l'ensemble de toutes les valeurs y que la fonction peut réellement produire. Pour f(x) = sqrt(x), l'ensemble image est aussi Zf = [0, +l'infini), car une racine carrée ne peut pas donner un résultat négatif.

Les principaux types de fonctions

Les fonctions sont classées en plusieurs familles selon la forme de leur formule.

• Fonction linéaire : f(x) = kx + n (souvent appelée fonction affine en France).
• Fonction quadratique : f(x) = ax^2 + bx + c, dont le graphe est une parabole.
• Fonction exponentielle : f(x) = a^x, qui modélise les croissances rapides.
• Fonction logarithmique : f(x) = log_a(x), l'inverse de l'exponentielle.
• Fonction rationnelle : f(x) = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes.

Les propriétés d'une fonction

Pour une analyse plus poussée, on étudie plusieurs caractéristiques d'une fonction :

• La monotonie : La fonction est-elle croissante ou décroissante sur un certain intervalle ?
• La parité : La fonction est-elle paire (f(-x) = f(x)) ou impaire (f(-x) = -f(x)), ce qui indique une symétrie de sa courbe.
• La continuité : Peut-on tracer son graphique sans lever le crayon ?
• La périodicité : Le comportement de la fonction se répète-t-il à intervalles réguliers ?

Exemple concret d'analyse

Prenons la fonction f(x) = x^2 – 2x + 1.

• Type : C'est une fonction quadratique.
• Ensemble de définition (Df) : Elle est définie pour tous les nombres réels, donc Df = R.
• Ensemble image (Zf) : On peut remarquer que f(x) = (x-1)^2. Comme un carré est toujours positif ou nul, la valeur minimale est 0 (atteinte quand x=1). Donc, Zf = [0, +l'infini).

En conclusion, les fonctions sont un pilier des mathématiques qui permet de formaliser et d'étudier les dépendances entre les grandeurs. Leur analyse est essentielle dans tous les domaines des sciences.