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"Pour la prochaine génération."
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En analyse mathématique, le quotient de différence est le rapport entre la variation de la valeur d'une fonction et la variation de sa variable. C'est un concept fondamental pour l'étude des dérivées, car il décrit la vitesse de variation moyenne d'une fonction sur un intervalle. Si nous avons une fonction f(x) et que nous choisissons deux points de son domaine, x et x + h, où h représente une très petite distance, alors le quotient de différence est donné par l'expression suivante : k = (f(x + h) - f(x)) / h
Le quotient de différence indique à quelle vitesse la valeur d'une fonction change autour d'un point x. Il représente la pente de la droite sécante qui passe par les deux points (x, f(x)) et (x+h, f(x+h)). Si la fonction est croissante, le quotient est positif ; si elle est décroissante, il est négatif. Plus la valeur de h devient petite (tend vers 0), plus ce quotient s'approche de la valeur de la dérivée, et la droite sécante se rapproche de la droite tangente.
Calculons le quotient de différence pour la fonction f(x) = x^2 en un point x quelconque avec une petite variation h : k = ((x + h)^2 - x^2) / h On développe d'abord l'identité remarquable (x + h)^2 : k = (x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h Ensuite, on simplifie le numérateur : k = (2xh + h^2) / h On met h en facteur au numérateur pour pouvoir simplifier la fraction : k = h(2x + h) / h k = 2x + h On constate que lorsque la valeur de h tend vers 0, la valeur de k tend vers 2x, ce qui correspond exactement à la fonction dérivée de f(x) = x^2.
Le quotient de différence est une étape cruciale pour passer au calcul différentiel, car il permet de définir rigoureusement la notion de dérivée d'une fonction. Il constitue la première étape de l'étude des variations locales d'une fonction et sert de base à de nombreux concepts en analyse mathématique.
