Équation Exponentielle 2

Une équation exponentielle est une équation mathématique où l'inconnue que l'on cherche se trouve en position d'exposant. La forme de base est aˣ = b, où a est un nombre positif différent de 1, b est un nombre positif, et x est l'inconnue. Ces équations sont au cœur de la modélisation des phénomènes de croissance et de décroissance.

Les Méthodes de Résolution

Pour résoudre une équation exponentielle, l'objectif est d'isoler la variable x. Il existe deux stratégies principales, et savoir quand utiliser l'une ou l'autre est la clé du succès.

Méthode 1 : La Réduction à la Même Base

C'est la méthode à privilégier car c'est la plus rapide. Elle fonctionne lorsque le nombre b peut être facilement exprimé comme une puissance de la base a. La règle est simple : si aˣ = aʸ, alors x = y.

• Exemple : Résoudre l'équation 2ˣ = 16.
• 1. On cherche à écrire 16 comme une puissance de 2. On sait que 2 × 2 × 2 × 2 = 16, donc 16 = 2⁴.
  2. L'équation devient alors 2ˣ = 2⁴.
  3. Puisque les bases sont identiques, on peut égaliser les exposants.
  4. La solution est x = 4.

Méthode 2 : L'Utilisation des Logarithmes

C'est la méthode universelle qui fonctionne dans tous les cas, surtout lorsque les bases ne peuvent pas être égalisées. Les logarithmes sont l'outil qui permet de "faire descendre" l'exposant.

• Exemple : Résoudre l'équation 5ˣ = 80.
• 1. Il est difficile d'exprimer 80 comme une puissance simple de 5.
  2. On applique le logarithme (généralement le logarithme népérien, ln) des deux côtés : ln(5ˣ) = ln(80).
  3. On utilise la propriété des logarithmes ln(aⁿ) = n × ln(a) : x × ln(5) = ln(80).
  4. On isole x : x = ln(80) / ln(5).
  5. À l'aide d'une calculatrice, on trouve la solution approchée : x ≈ 2,72.

L'Importance en Pratique

Les équations exponentielles permettent de répondre à des questions concrètes :

• Finance : "En combien d'années mon placement à 5% d'intérêt va-t-il doubler ?"
• Physique : "Combien de temps faudra-t-il pour que cet échantillon radioactif perde 75% de sa masse ?"
• Biologie : "Après combien d'heures cette culture de bactéries atteindra-t-elle 1 million d'individus ?"

Conclusion

Savoir résoudre une équation exponentielle est une compétence fondamentale en mathématiques et en sciences. La démarche est logique : on essaie d'abord la méthode simple de la base commune, et si cela échoue, on utilise la méthode puissante des logarithmes qui fonctionne toujours. La maîtrise de ces techniques ouvre la porte à la modélisation et à la compréhension de nombreux processus dynamiques qui régissent le monde qui nous entoure.