Équation Exponentielle 1

Une équation exponentielle est une équation où l'inconnue que l'on cherche (souvent x) se trouve en exposant. Sa forme la plus classique est aˣ = b, où a est un nombre réel positif différent de 1, et b est un nombre réel positif. Ces équations sont fondamentales pour comprendre les phénomènes de croissance et de décroissance que l'on retrouve partout dans la nature et en finance.

Les Méthodes de Résolution

L'objectif pour résoudre une équation exponentielle est toujours le même : isoler l'inconnue x qui est "piégée" dans l'exposant. Il existe plusieurs stratégies pour y parvenir.

Méthode 1 : L'Égalité des Bases

C'est la méthode la plus directe et la plus simple. Elle s'applique lorsque les deux côtés de l'équation peuvent être exprimés comme des puissances de la même base. Elle repose sur la règle suivante : si aᵘ = aᵛ, alors u = v.

• Exemple simple : Résoudre 5ˣ = 125.
• 1. On réécrit 125 comme une puissance de 5 : 125 = 5³.
  2. L'équation devient 5ˣ = 5³.
  3. Puisque les bases sont identiques, on peut égaliser les exposants : x = 3.

Méthode 2 : L'Utilisation des Logarithmes

Lorsque les bases ne peuvent pas être égalisées, les logarithmes sont l'outil universel. Le logarithme est l'opération réciproque de l'exponentiation et permet de "faire descendre" l'exposant.

• Exemple : Résoudre 3ˣ = 7.
• 1. On applique le logarithme (généralement le logarithme népérien, ln) des deux côtés : ln(3ˣ) = ln(7).
  2. On utilise la propriété des logarithmes ln(aⁿ) = n * ln(a) : x * ln(3) = ln(7).
  3. On isole x : x = ln(7) / ln(3). Avec une calculatrice, on trouve x ≈ 1,771.

Méthode 3 : La Résolution Graphique

Cette méthode consiste à visualiser la solution. Pour résoudre aˣ = b, on peut tracer les graphiques des deux fonctions y = aˣ et y = b (qui est une ligne horizontale). L'abscisse du point d'intersection des deux courbes est la solution de l'équation. C'est une excellente méthode pour obtenir une estimation de la solution.

Importance et Applications

Les équations exponentielles sont partout dans le monde réel.

• Finance : Pour calculer la durée d'un placement à intérêts composés.
• Biologie : Pour modéliser la croissance d'une population.
• Physique : Pour calculer le temps de désintégration radioactive (datation au carbone 14).

Conclusion

Les équations exponentielles sont un pilier des mathématiques appliquées. Savoir les identifier et les résoudre est une compétence essentielle qui permet de modéliser et de comprendre une vaste gamme de processus naturels et sociaux. Que ce soit par l'élégance de la méthode des bases communes ou la puissance des logarithmes, leur résolution ouvre la porte à une pensée mathématique plus avancée.