PGCD et PPCM – Exercice

Définition du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres entiers ou plus est le plus grand nombre entier qui les divise tous sans laisser de reste.

Définition du Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux nombres entiers ou plus est le plus petit nombre entier positif qui est divisible par tous ces nombres.

Méthodes de calcul du PGCD et du PPCM

Plusieurs méthodes existent pour calculer le Plus Grand Commun Diviseur et le Plus Petit Commun Multiple. Parmi elles, les plus connues sont :

• L'algorithme d'Euclide pour le Plus Grand Commun Diviseur.
• L'utilisation de la factorisation première pour le PGCD et le PPCM.
• L'utilisation de la règle fondamentale selon laquelle le Plus Petit Commun Multiple est égal au produit des nombres divisé par leur Plus Grand Commun Diviseur : PPCM(a, b) = (|a * b|) / PGCD(a, b).

Exemple de problème

Calculons le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) pour les nombres 18 et 12.

Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

D'abord, nous trouvons la factorisation première des nombres :

• 18 = 2 * 3²
• 12 = 2² * 3

Les facteurs premiers communs sont 2 et 3. Le Plus Grand Commun Diviseur est le produit des puissances les plus faibles de ces facteurs premiers communs :

PGCD(18, 12) = 2¹ * 3¹ = 2 * 3 = 6.

Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Méthode 1 : Utilisation du produit et du PGCD

D'abord, calculez le produit des nombres : 18 * 12 = 216.

Ensuite, calculez le PPCM comme le produit des nombres divisé par leur PGCD :

PPCM(18, 12) = 216 / 6 = 36.

Méthode 2 : Utilisation de la factorisation première

Le Plus Petit Commun Multiple est le produit des puissances les plus élevées de tous les facteurs premiers présents dans l'un ou l'autre nombre :

Les facteurs premiers impliqués sont 2 et 3.

La puissance la plus élevée de 2 est 2² (de 12).

La puissance la plus élevée de 3 est 3² (de 18).

PPCM(18, 12) = 2² * 3² = 4 * 9 = 36.