Plus Grand Commun Diviseur et Plus Petit Commun Multiple

Introduction

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) sont des concepts importants en théorie des nombres. Le PGCD et le PPCM permettent de trouver des connexions numériques entre plusieurs nombres naturels et sont essentiels dans la factorisation des nombres et le travail avec les fractions.

Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres ou plus est le plus grand nombre qui divise tous les nombres donnés sans reste. Il est noté PGCD(a, b) (ou parfois PGCF pour Plus Grand Commun Facteur).

Exemple : Pour les nombres 24 et 36, trouvons tous les diviseurs :

• Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Le Plus Grand Commun Diviseur est PGCD(24, 36) = 12.

Méthodes pour trouver le PGCD

1. MÉTHODE DE FACTORISATION PREMIÈRE :
2. • 24 = 2³ * 3
   • 36 = 2² * 3²
   • Facteurs communs (prendre la puissance la plus faible des facteurs premiers communs) : 2² * 3¹ = 4 * 3 = 12.
2. ALGORITHME D'EUCLIDE (pour deux nombres a et b, où a > b) : PGCD(a, b) = PGCD(b, reste de a / b) Répéter le processus jusqu'à ce que le reste soit 0. Le dernier reste non nul est le PGCD.

Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Le Plus Petit Commun Multiple de deux nombres ou plus est le plus petit nombre qui est un multiple de tous les nombres donnés. Il est noté PPCM(a, b).

Exemple : Pour les nombres 4 et 6, trouvons leurs multiples :

• Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
• Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, …

Le Plus Petit Commun Multiple est PPCM(4, 6) = 12.

Méthodes pour trouver le PPCM

1. MÉTHODE DE FACTORISATION PREMIÈRE :
2. • 4 = 2²
   • 6 = 2 * 3
   • Prendre tous les facteurs premiers des deux nombres, en utilisant la puissance la plus élevée de chaque facteur qui apparaît : 2² * 3 = 4 * 3 = 12.
2. FORMULE UTILISANT LE PGCD : PPCM(a, b) = (|a * b|) / PGCD(a, b)

Pour PPCM(24, 36) : PPCM(24, 36) = (24 * 36) / 12 = 864 / 12 = 72.

Relation entre PGCD et PPCM

Le Plus Grand Commun Diviseur et le Plus Petit Commun Multiple sont liés par l'équation :

PGCD(a, b) * PPCM(a, b) = |a * b|

Cela signifie que le produit du PGCD et du PPCM de deux nombres est toujours égal à la valeur absolue du produit de ces deux nombres.

Conclusion

Le Plus Grand Commun Diviseur et le Plus Petit Commun Multiple sont des concepts clés en théorie des nombres qui permettent la simplification des opérations arithmétiques. Le PGCD aide à trouver les facteurs communs, tandis que le PPCM aide à déterminer les multiples communs.