Fonctions Trigonométriques

Qu'est-ce qu'une fonction trigonométrique ?

Les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'un angle. Elles permettent de faire le lien entre les angles et les longueurs des côtés d'un triangle, ou entre les angles et les coordonnées d'un point sur un cercle. Les fonctions de base sont le sinus (sin), le cosinus (cos), la tangente (tan) et la cotangente (cot). Elles sont fondamentales pour analyser tout phénomène périodique (qui se répète), comme les ondes ou les vibrations.

Définition dans le triangle rectangle

La manière la plus simple de définir ces fonctions est dans un triangle rectangle, pour un angle aigu a :

• sin(a) = cote oppose / hypotenuse
• cos(a) = cote adjacent / hypotenuse
• tan(a) = cote oppose / cote adjacent
• cot(a) = cote adjacent / cote oppose

Cette définition est le point de départ, mais elle est limitée aux angles entre 0° et 90°. Pour généraliser, on utilise le cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique : la définition universelle

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré sur l'origine d'un repère. C'est l'outil le plus puissant pour comprendre les fonctions trigonométriques pour n'importe quel angle.

Pour un angle a, on lui associe un point unique sur le cercle. Les coordonnées de ce point sont tout simplement (cos(a), sin(a)).

• L'abscisse (la coordonnée x) du point est la valeur du cosinus de l'angle.
• L'ordonnée (la coordonnée y) du point est la valeur du sinus de l'angle.

À partir de là, on définit la tangente et la cotangente :

• tan(a) = sin(a) / cos(a) (n'est pas définie si cos(a) = 0)
• cot(a) = cos(a) / sin(a) (n'est pas définie si sin(a) = 0)

Propriétés fondamentales

Bornes et périodicité

• Les fonctions sinus et cosinus sont bornées : leurs valeurs sont toujours comprises entre -1 et 1.
• Elles sont périodiques de période 2π : sin(a + 2pi) = sin(a) et cos(a + 2pi) = cos(a). Le motif se répète tous les 360°.
• Les fonctions tangente et cotangente ne sont pas bornées et leur période est π (180°).

Parité (fonctions paires et impaires)

• La fonction cosinus est paire : cos(-a) = cos(a). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• La fonction sinus est impaire : sin(-a) = -sin(a). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Les formules de trigonométrie à connaître

La relation fondamentale

C'est la formule la plus importante, issue directement du théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique : sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Valeurs remarquables

Pour certains angles clés, les valeurs sont connues et très utilisées :

• Pour a = pi/6 (30°) : sin(a) = 1/2 et cos(a) = sqrt(3)/2
• Pour a = pi/4 (45°) : sin(a) = sqrt(2)/2 et cos(a) = sqrt(2)/2
• Pour a = pi/3 (60°) : sin(a) = sqrt(3)/2 et cos(a) = 1/2

En conclusion, les fonctions trigonométriques sont les piliers de l'analyse des angles et des phénomènes périodiques. Leurs propriétés, définies par le cercle trigonométrique et régies par des identités clés, en font des outils incontournables en sciences et en ingénierie.