Qu'est-ce qu'un Polynôme ? - Partie 2

Types de polynômes par nombre de termes

Les polynômes peuvent être classés selon le nombre de leurs termes. La classification la plus basique comprend :

• MONÔME : Une expression avec un terme, par exemple, 5x³
• BINÔME : Une expression avec deux termes, par exemple, 3x² - 7
• TRINÔME : Une expression avec trois termes, par exemple, x² + 4x + 4

Si une expression a plus de trois termes, elle est simplement appelée polynôme. Chacun de ceux-ci fait partie d'un concept plus large qui combine les termes selon les règles de l'exponentiation et des opérations arithmétiques de base.

Ordre et forme standard

Pour faciliter l'analyse et la comparaison, il est utile d'écrire l'expression sous forme standard, où les termes sont arrangés par ordre décroissant de leurs exposants. Par exemple : P(x) = 2x⁴ - 3x² + 7x - 1 est écrit sous forme standard car les exposants de la variable x décroissent de 4 à 0. Les coefficients ici sont : a₄=2, a₃=0 (implicite), a₂=-3, a₁=7, a₀=-1.

Identité des polynômes

Deux expressions polynomiales sont identiques (ou égales) si elles représentent la même fonction. Cela signifie que lorsqu'elles sont écrites sous forme standard, elles doivent avoir le même degré, et les coefficients des puissances correspondantes de la variable doivent être égaux. Par exemple : 4x³ + 2x - 5 et 2x + 4x³ - 5 sont identiques car, lorsqu'ils sont ordonnés, ils deviennent tous deux 4x³ + 2x - 5. L'ordre dans lequel les termes sont écrits n'affecte pas l'identité du polynôme, seules les valeurs des coefficients et leurs puissances correspondantes déterminent l'égalité.

Développement et simplification

Le développement consiste à multiplier les expressions polynomiales. Par exemple, lors de la multiplication de deux binômes, chaque terme d'une expression est multiplié par chaque terme de l'autre. Le résultat est ensuite simplifié en combinant les termes semblables (termes avec la même puissance de la variable). Par exemple :

(x + 2)(x - 3) = x(x) + x(-3) + 2(x) + 2(-3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6

C'est la méthode fondamentale pour manipuler les produits d'expressions polynomiales, conduisant à un polynôme sous forme standard.

Conclusion

Comprendre les types de base et les règles de notation pour ces expressions est une étape essentielle pour traiter davantage les structures algébriques. L'ordonnancement, la comparaison et le développement permettent un travail systématique avec les expressions et préparent à des opérations plus complexes telles que la division, la factorisation ou l'analyse graphique.