Fonction Quadratique – Exemple

Introduction à la Représentation Graphique

Tracer le graphique d'une fonction quadratique, c'est transformer une équation abstraite en une image concrète : une parabole. Ce processus est méthodique et repose sur l'identification de quelques points clés qui nous révéleront la forme et la position exactes de la courbe. Utilisons un exemple détaillé pour maîtriser cette technique : f(x) = -2x² + 4x + 3.

Étape 1 : Analyse Préliminaire des Coefficients

Avant de calculer quoi que ce soit, les coefficients a, b et c nous donnent des indices précieux.

• Le coefficient a (-2) : Comme a = -2 est négatif, nous savons que la parabole sera ouverte vers le bas. Le sommet que nous calculerons sera donc le point le plus haut de la courbe (un maximum).
• Le coefficient c (3) : Ce coefficient nous donne directement l'ordonnée à l'origine. La parabole coupera l'axe vertical des ordonnées au point (0, 3). C'est notre premier point connu.

Étape 2 : Calculer les Points Clés de la Parabole

Avec cette première analyse, nous pouvons maintenant calculer les coordonnées des points qui formeront le squelette de notre graphique.

Trouver le Sommet de la Parabole

Le sommet est le point le plus important. Ses coordonnées, notées (p, q), se trouvent avec les formules suivantes.

• Calcul de l'abscisse (p) : On utilise p = -b / (2a). Avec a = -2 et b = 4, on obtient : p = -4 / (2 * -2) = -4 / -4 = 1.
• Calcul de l'ordonnée (q) : On calcule f(p), c'est-à-dire f(1) : q = -2(1)² + 4(1) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5. Le sommet de notre parabole est donc le point S(1, 5).

Identifier l'Ordonnée à l'Origine

Comme vu à l'étape 1, ce point est directement donné par le coefficient c. Le point est (0, 3).

Étape 3 : Tracer la Parabole

Nous avons maintenant assez d'informations pour dessiner une esquisse précise de la courbe.

Utiliser l'Axe de Symétrie

La parabole est parfaitement symétrique par rapport à une droite verticale qui passe par son sommet. L'équation de cet axe de symétrie est x = p, soit x = 1 dans notre cas. Nous pouvons utiliser cette propriété pour trouver d'autres points facilement. Le point (0, 3) se trouve à une distance de 1 unité sur la gauche de l'axe x = 1. Il doit donc exister un point symétrique à la même hauteur, mais à 1 unité sur la droite de l'axe. Ce point a donc pour abscisse 1 + 1 = 2. Le point symétrique est (2, 3).

Dessiner la Courbe

Pour finaliser le graphique :

• Placez les trois points que vous avez trouvés : le sommet (1, 5), l'ordonnée à l'origine (0, 3), et son point symétrique (2, 3).
• Reliez ces points par une courbe lisse et continue, en vous assurant qu'elle est bien ouverte vers le bas, comme prédit par le signe de a. Pour encore plus de précision, on pourrait calculer les racines (zéros) de la fonction, qui donneraient les points d'intersection avec l'axe des x.

Conclusion

Tracer le graphique d'une fonction quadratique est une procédure logique. En analysant les coefficients pour prédire l'allure de la courbe, en calculant le sommet comme point central, et en utilisant la symétrie pour trouver des points supplémentaires, on peut représenter n'importe quelle parabole de manière fiable et précise.