Produit Scalaire

Définition de base

Le produit scalaire (également connu sous le nom de produit point) est une opération algébrique entre deux vecteurs qui retourne un nombre réel (un scalaire). Contrairement au produit vectoriel, qui retourne un nouveau vecteur, le produit scalaire exprime une relation concernant la direction de deux vecteurs. Il est utilisé pour calculer la projection d'un vecteur sur un autre et pour déterminer l'orthogonalité (perpendicularité).

Pour les vecteurs a = (x₁, y₁, z₁) et b = (x₂, y₂, z₂), le produit scalaire est défini comme :

a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂

Dans un plan (si les composantes z sont 0), la formule se simplifie en :

a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂

Interprétation géométrique

Le produit scalaire peut également être exprimé en utilisant les magnitudes (longueurs) des vecteurs et l'angle entre eux :

a · b = |a| · |b| · cos(φ),

où φ est l'angle entre les vecteurs a et b, et 0° <= φ <= 180° (ou 0 <= φ <= π radians).

De cela, il s'ensuit :

• Si a · b > 0, l'angle entre les vecteurs est aigu (moins de 90°).
• Si a · b < 0, l'angle est obtus (plus de 90°).
• Si a · b = 0 (et qu'aucun vecteur n'est un vecteur zéro), les vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux, l'angle est de 90°).