Définition d'un Vecteur

Définition de base

Un vecteur est un objet mathématique déterminé par une direction et une magnitude (longueur). Il est utilisé pour décrire une quantité orientée – ce qui signifie qu'en plus d'une valeur (longueur), il contient également des informations sur la direction dans laquelle il agit. Dans un plan ou dans l'espace, un vecteur est souvent représenté comme un segment de ligne orienté avec une pointe de flèche.

D'un point de vue mathématique, un vecteur est défini comme une paire ordonnée (dans un plan) ou un triplet ordonné (dans l'espace) de nombres réels, qui représentent les coordonnées de son orientation par rapport à une origine.

• Dans un plan, nous le notons v = (x, y).
• Dans l'espace, comme v = (x, y, z). Ici, x, y et z sont les composantes du vecteur.

Composantes d'un vecteur

• POINT INITIAL (d'où provient le vecteur, s'il représente un déplacement entre deux points spécifiques).
• POINT TERMINAL (où le vecteur pointe, s'il représente un déplacement).
• COMPOSANTES - Si un vecteur représente le déplacement du point A(x₁, y₁, z₁) au point B(x₂, y₂, z₂), ses composantes sont (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁). Souvent, les vecteurs sont considérés à partir de l'origine (0,0,0), auquel cas leurs composantes sont les coordonnées de leur point terminal.
• MAGNITUDE (aussi norme ou longueur), notée |v|.

La magnitude d'un vecteur v = (x, y) dans un plan est calculée comme :

|v| = sqrt(x² + y²)

Et pour un vecteur v = (x, y, z) dans l'espace :

|v| = sqrt(x² + y² + z²)

Exemple de calcul

Soit le vecteur a = (3, 4) donné. Sa magnitude est calculée comme :

|a| = sqrt(3² + 4²) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Cela signifie que le vecteur a a une magnitude de 5 unités et, s'il part de l'origine, est dirigé vers le point (3, 4).

Conclusion

Cet objet mathématique est fondamental pour décrire la direction et la magnitude dans de nombreuses constructions géométriques et algébriques. Il est composé de composantes le long de chaque axe de coordonnées, ce qui permet de le manipuler dans un plan ou dans l'espace en utilisant des opérations arithmétiques standard telles que l'addition, la multiplication scalaire et le calcul de sa longueur.