Introduction aux Suites

Définition et concept de base

Une suite est une liste ordonnée de nombres où chaque élément est déterminé par une place ou une position spécifique. Nous notons généralement les suites avec le symbole aₙ, où n ∈ ℕ (nombres naturels) représente le numéro séquentiel (indice), et aₙ est le n-ième terme de la suite. Une suite peut être définie de deux façons :

1. Avec une formule explicite, où chaque terme est exprimé directement comme une fonction de n.
2. Récursivement, où le(s) premier(s) terme(s) sont définis, ainsi qu'une règle pour calculer le terme suivant à partir du(des) terme(s) précédent(s).

Exemple d'une suite définie par une formule explicite :

aₙ = n² donne la suite (1, 4, 9, 16, 25, …)

Types de suites

Suite arithmétique

Chaque terme suivant diffère du précédent par le même nombre constant 'd' (raison arithmétique) :

aₙ = a₁ + (n - 1) * d

Exemple : 3, 7, 11, 15, … (où d = 4)

Suite géométrique

Chaque terme suivant est obtenu en multipliant le terme précédent par le même nombre constant 'q' (raison géométrique) :

aₙ = a₁ * q^(n-1)

Exemple : 2, 4, 8, 16, … (où q = 2)

Suite constante

Tous les termes sont égaux :

aₙ = c (où c est une constante)

Suite alternée

Les valeurs des termes alternent selon un motif prescrit – souvent dans le signe.

Exemple : aₙ = (-1)ⁿ donne la suite (-1, 1, -1, 1, …)

Façons de définir les suites

• EXPLICITEMENT : Nous fournissons une formule pour le terme général aₙ comme fonction de n.

Exemple : aₙ = 3n - 1

• RÉCURSIVEMENT : Nous définissons le terme initial (ou plusieurs termes initiaux) et une règle sur la façon d'obtenir le terme suivant.

Exemple : a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 5

Croissance, décroissance et bornes

Une suite est :

• CROISSANTE si aₙ < aₙ₊₁ pour tout n.
• DÉCROISSANTE si aₙ > aₙ₊₁ pour tout n.
• BORNÉE s'il existe des nombres réels m et M tels que : m <= aₙ <= M pour tout n.

Exemple d'une suite croissante : aₙ = n

Exemple d'une suite bornée : aₙ = 1/n (bornée entre 0 (exclusif pour n>0) et 1 (inclus))

Conclusion

Les suites représentent un concept fondamental en analyse mathématique et en mathématiques discrètes. Elles permettent une notation structurée de séries numériques, l'étude de leurs propriétés et comportement, et la préparation à des concepts ultérieurs tels que les séries, les limites de suites et l'analyse fonctionnelle. Comprendre les différentes formes de suites et les façons de les définir est essentiel pour un travail ultérieur dans de nombreux domaines mathématiques.