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"Pour la prochaine génération."
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Trouver les zéros d'un polynôme signifie résoudre l'équation P(x) = 0, où P(x) est un polynôme avec des coefficients réels ou rationnels. L'objectif est de déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles le polynôme a une valeur de 0. Ces valeurs sont essentielles pour la factorisation, la représentation graphique et d'autres procédures algébriques telles que la division et la simplification des expressions.
Un polynôme de degré 'n' a au maximum 'n' zéros réels ou complexes, en comptant les multiplicités.
Si tous les termes ont un facteur commun, factorisez-le d'abord pour simplifier le polynôme.
Exemple : P(x) = x³ - x² = x²(x - 1) → Zéros : x = 0 (avec multiplicité 2), x = 1.
Si le polynôme peut être réécrit comme un produit de facteurs de degré inférieur, les zéros peuvent être trouvés à partir de chaque facteur.
Exemple : P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 1) → Zéros : x = 2, x = -3, x = 1.
Si un polynôme avec des coefficients entiers a des zéros rationnels, ils sont de la forme : x = ±p/q, où 'p' est un diviseur du terme constant (a₀), et 'q' est un diviseur du coefficient dominant (aₙ).
Exemple : P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6
Zéros rationnels possibles (diviseurs de 6 divisés par diviseurs de 1) : ±1, ±2, ±3, ±6.
En testant : P(1) = 1³ - 2(1)² - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 → x = 1 est un zéro.
Une fois qu'un zéro 'c' est connu, le polynôme peut être divisé par (x - c) en utilisant l'algorithme de Horner (ou division synthétique) pour trouver le quotient restant, dont les zéros peuvent ensuite être recherchés.
Exemple : P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
Tester P(1) = 1³ - 6(1)² + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 → x = 1 est un zéro.
Diviser P(x) par (x - 1) : Le quotient est x² - 5x + 6.
Factorisation du polynôme du second degré : x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) → Les zéros du quotient sont x = 2, x = 3.
Zéros finaux : x = 1, x = 2, x = 3.
POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ : P(x) = ax² + bx + c → Zéros utilisant la formule quadratique : x = (-b ± sqrt(b² - 4ac)) / 2a
POLYNÔMES CUBIQUES OU DE DEGRÉ SUPÉRIEUR : Si la factorisation ou le théorème des racines rationnelles n'est pas simple, des méthodes numériques ou des techniques plus avancées peuvent être nécessaires.
Les zéros peuvent également être approximés en regardant le graphique de la fonction f(x) = P(x) - les points où le graphique intersecte l'axe des x correspondent aux zéros réels.
Trouver les zéros d'un polynôme est un processus systématique basé sur la factorisation, le test de valeurs rationnelles, la division et l'utilisation de formules connues. La connaissance des méthodes pour trouver les zéros permet de comprendre la structure d'un polynôme, sa factorisation et la préparation à la résolution d'équations plus complexes.
