Nombres Naturels et Nombres Entiers

L'ensemble des nombres naturels

Les nombres naturels forment l'ensemble de base des nombres que nous utilisons pour compter des objets et pour ordonner. Ils sont souvent désignés par le symbole ℕ. Il existe deux définitions communes pour cet ensemble :

• ℕ = {1, 2, 3, 4, …} (sans 0)
• ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, …} (inclut 0)

La première définition est utilisée plus fréquemment, notamment en théorie des nombres, tandis que la seconde, qui inclut 0 comme nombre naturel, est utile dans certaines structures mathématiques.

L'ensemble des nombres entiers

L'ensemble des nombres entiers, désigné par ℤ, inclut tous les nombres naturels, leurs opposés (nombres négatifs) et le nombre 0. Ainsi, l'ensemble est défini comme : ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Les nombres entiers permettent toutes les opérations arithmétiques de base, y compris la soustraction, ce qui n'est pas toujours possible au sein de l'ensemble ℕ. Par exemple, si nous soustrayons 5 de 3, nous obtenons -2, qui n'est pas un nombre naturel (selon la première définition) mais qui est un nombre entier.

Propriétés des nombres naturels et entiers

Les deux ensembles possèdent d'importantes propriétés mathématiques :

Succession

Chaque nombre naturel a un successeur, obtenu en ajoutant 1.

Infinitude

Les deux ensembles sont infinis, car nous pouvons toujours trouver un nouveau nombre qui suit ceux qui existent déjà.

Bornes (pour les nombres naturels)

Tous les nombres naturels sont supérieurs ou égaux à 1 (ou 0 dans certaines définitions). Les nombres entiers s'étendent à l'infini dans les directions positive et négative.

Éléments neutres

Le nombre 0 est l'élément neutre pour l'addition (a + 0 = a), tandis que 1 est l'élément neutre pour la multiplication (a × 1 = a).

Exemples d'opérations de base

Les opérations sur les nombres naturels et entiers suivent des règles spécifiques :

• Addition : 5 + 3 = 8 ; (-2) + 6 = 4
• Soustraction : 7 – 4 = 3 ; (-3) – 5 = -8
• Multiplication : 4 × 3 = 12 ; (-2) × 3 = -6
• Division : La division n'est pas toujours possible au sein de l'ensemble des entiers pour donner un autre entier (par exemple, 7 ÷ 2 n'est pas un entier mais un nombre rationnel).

Conclusion

Les nombres naturels et les nombres entiers sont des ensembles mathématiques fondamentaux qui permettent les opérations de calcul de base. Alors que les nombres naturels forment la base du comptage, les nombres entiers étendent cet ensemble avec des valeurs négatives, permettant un traitement mathématique plus général. Leur utilisation va de l'arithmétique de base aux concepts mathématiques avancés.