Logarithme

Définition de base

Un logarithme est l'opération mathématique inverse de l'exponentiation. Si nous avons une puissance de la forme a^b = c, alors le logarithme du nombre c en base a est égal à b, ce que nous écrivons comme :

logₐ(c) = b.

Cela signifie : le logarithme répond à la question « À quelle puissance devons-nous élever la base a pour obtenir le nombre c ? »

Par exemple : log₂(8) = 3, car 2^3 = 8.

Éléments d'un logarithme

base (a) : le nombre élevé à une puissance (a > 0, a ≠ 1)

argument (c) : le nombre dont nous trouvons le logarithme (c > 0)

résultat (b) : l'exposant qui montre combien de fois la base est utilisée dans la multiplication.

Cas spéciaux

Logarithme commun (base 10) : la base est 10 → log(c) = log₁₀(c)

Logarithme naturel : la base est e (≈ 2,718) → ln(c) = logₑ(c)

Propriétés des logarithmes

Les expressions logarithmiques suivent des règles de calcul spécifiques :

logₐ(x*y) = logₐ(x) + logₐ(y)

logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)

logₐ(x^n) = n * logₐ(x)

logₐ(a) = 1

logₐ(1) = 0

Un logarithme n'est pas défini pour les arguments négatifs ou pour une base égale à 1, car dans ces cas l'exposant ne peut pas être déterminé de manière habituelle.

Exemples de calcul

Trouver : log₃(81)

Puisque 3^4 = 81, nous obtenons : log₃(81) = 4

Autre exemple : log₁₀(1000) = 3, puisque 10^3 = 1000.

Conclusion

Un logarithme est un concept mathématique essentiel qui relie les puissances, les exposants et la multiplication de manière inverse. Grâce à ses propriétés, il permet de simplifier les calculs avec des nombres très grands ou très petits et de décomposer les expressions exponentielles en composantes linéaires. Comprendre les logarithmes signifie comprendre la relation entre la croissance, les puissances et l'inverse de l'exponentiation.