Points Stationnaires et Sens de Variation

Introduction au comportement des fonctions

Pour comprendre le comportement d'une fonction et déterminer ses propriétés clés, nous utilisons l'analyse de sa dérivée. L'une des propriétés les plus importantes que nous découvrons de cette manière est de savoir où la fonction est croissante, où elle est décroissante, et où elle atteint ses valeurs extrêmes. Les points dits stationnaires, qui sont déterminés à l'aide de la première dérivée, servent à cet effet.

Définition des points stationnaires

Soit 'f' une fonction dérivable. Un point x₀ est stationnaire si f′(x₀) = 0. En un tel point, la tangente au graphique de la fonction est horizontale.

Les points stationnaires peuvent être :

• Un minimum local, si la fonction atteint en ce point la plus petite valeur dans un certain voisinage.
• Un maximum local, si elle atteint la plus grande valeur dans un voisinage.
• Un point d'inflexion, si le sens de variation de la fonction ne change pas, mais que la forme du graphique (la concavité) change autour de ce point.

Sens de variation d'une fonction

En utilisant la dérivée, nous pouvons également déterminer les intervalles où une fonction est croissante ou décroissante :

• Si f′(x) > 0 pour tout x dans un certain intervalle, alors la fonction est croissante dans cet intervalle.
• Si f′(x) < 0 pour tout x in un certain intervalle, la fonction est décroissante dans cet intervalle.
• Si f′(x) = 0 en des points isolés, ce sont des points stationnaires potentiels.

Ces informations sont souvent rassemblées dans un tableau de signes de la dérivée, ce qui aide à esquisser le graphique de la fonction.

Exemple : Fonction f(x) = x³ – 3x² + 2

D'abord, calculons la dérivée : f′(x) = 3x² – 6x.

Ensuite, nous résolvons l'équation f′(x) = 0 : 3x² – 6x = 0 → x(3x – 6) = 0 → x = 0 ou x = 2. Ce sont les points stationnaires.

Puis, nous vérifions le signe de la dérivée dans les intervalles définis par ces points :

• Pour x < 0 : Choisissons une valeur test, par exemple x = -1. f′(-1) = 3(-1)² – 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 → la fonction est croissante.
• Pour 0 < x < 2 : Choisissons une valeur test, par exemple x = 1. f′(1) = 3(1)² – 6(1) = 3 – 6 = -3 < 0 → la fonction est décroissante.
• Pour x > 2 : Choisissons une valeur test, par exemple x = 3. f′(3) = 3(3)² – 6(3) = 27 – 18 = 9 > 0 → la fonction est de nouveau croissante.

De cela, nous concluons qu'en x = 0 il y a un maximum local, et en x = 2 il y a un minimum local.

Conclusion

Les points stationnaires sont essentiels dans l'analyse des fonctions, car ils marquent les endroits où le sens de variation du graphique change. En utilisant la dérivée, nous déterminons où une fonction est croissante ou décroissante, ce qui permet une compréhension précise de son comportement et de son allure.