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"Pour la prochaine génération."
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Lors de l'étude des fonctions et de leurs graphiques, nous nous intéressons souvent à l'orientation de la droite qui "touche" le graphique en un point spécifique. Cette droite est appelée la tangente. La droite perpendiculaire à la tangente au même point est appelée la normale. Ces deux droites sont définies par leur pente (ou coefficient directeur), qui mesure l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe horizontal.
La tangente au graphique d'une fonction en un certain point est une droite qui touche le graphique en ce point et a la même pente que la fonction en ce point. La pente de la droite tangente en un point x₀ est égale à la valeur de la dérivée de la fonction f en x₀, par conséquent :
k_t = f′(x₀) (où k_t est la pente de la tangente)
Cela signifie que si nous avons une fonction f donnée et que nous calculons sa dérivée, la valeur de la dérivée au point choisi nous donne la pente de la tangente.
La droite normale est une droite qui passe par le même point que la tangente mais qui lui est perpendiculaire. Si la tangente est croissante, la normale est décroissante, et vice versa. Mathématiquement, la pente de la droite normale est donnée par :
k_n = -1 / f′(x₀), à condition que f′(x₀) ≠ 0. (où k_n est la pente de la normale)
Ainsi, la pente de la normale n'est définie qu'aux points où la tangente est définie et où sa pente n'est pas nulle. Si f′(x₀) = 0, alors la droite tangente est horizontale, et la droite normale est verticale (et n'a pas de pente définie sous la forme y=mx+b).
D'abord, nous calculons la dérivée : f′(x) = 2x.
En x = 1, la dérivée est f′(1) = 2(1) = 2. Par conséquent, la pente de la droite tangente est k_t = 2.
La pente de la droite normale est : k_n = -1 / 2.
Le point sur le graphique est (1, f(1)) = (1, 1²) = (1, 1).
L'équation de la droite tangente en (1, 1) est : y – y₁ = k_t(x – x₁) y – 1 = 2(x – 1) → y = 2x – 2 + 1 → y = 2x – 1.
L'équation de la droite normale en (1, 1) est : y – y₁ = k_n(x – x₁) y – 1 = (-1/2)(x – 1) → y = (-1/2)x + 1/2 + 1 → y = -0.5x + 1.5.
La pente de la droite tangente est égale à la valeur de la dérivée de la fonction en un point spécifique. La droite normale, étant perpendiculaire à la tangente, a une pente qui est l'opposé de l'inverse de la pente de la tangente, à condition que la pente de la tangente existe et soit non nulle. Ces deux pentes sont essentielles pour décrire la géométrie locale du graphique d'une fonction.
