Dérivées des Fonctions Élémentaires

Introduction à une plus large gamme de fonctions

En analyse, nous traitons plusieurs types de fonctions de base qui apparaissent lors du calcul des dérivées. Outre les polynômes, les fonctions importantes incluent les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et leurs formes réciproques. Celles-ci sont appelées fonctions élémentaires car elles représentent les éléments de base de la plupart des expressions plus complexes. Chacune d'entre elles a sa propre règle de dérivation, basée sur les propriétés mathématiques de la fonction.

Fonctions exponentielles

Pour une fonction de la forme f(x) = a^x, où 'a' est un nombre positif différent de 1, la dérivée est donnée par : f′(x) = a^x * ln(a).

Un cas particulier est la fonction f(x) = e^x, où e ≈ 2.718 (le nombre d'Euler), pour laquelle : f′(x) = e^x. Cette fonction reste inchangée par la dérivation.

Fonctions logarithmiques

La fonction f(x) = log_a(x), où a > 0 et a ≠ 1, a pour dérivée : f′(x) = 1 / (x * ln(a)).

Pour le logarithme népérien, c'est-à-dire f(x) = ln(x), une règle simplifiée s'applique : f′(x) = 1 / x, valable pour x > 0. Les fonctions logarithmiques ne sont pas définies pour des valeurs négatives de x ou pour x = 0.

Fonctions trigonométriques

Les dérivées des fonctions trigonométriques de base sont :

• d/dx (sin(x)) = cos(x)
• d/dx (cos(x)) = -sin(x)
• d/dx (tan(x)) = 1 / cos²(x) = sec²(x), pour x ≠ (2k + 1)π/2
• d/dx (cot(x)) = -1 / sin²(x) = -csc²(x), pour x ≠ kπ

Fonctions trigonométriques réciproques

Les fonctions trigonométriques réciproques ont les dérivées suivantes :

• d/dx (arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 − x²) , pour |x| < 1
• d/dx (arccos(x)) = −1 / sqrt(1 − x²) , pour |x| < 1
• d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x²) , pour tout x réel

Conclusion

Différents types de fonctions élémentaires nécessitent la connaissance de leurs règles de dérivation spécifiques. Chaque type de fonction a sa règle prescrite, basée sur la structure de la fonction et son domaine de définition. La compréhension de ces règles est essentielle pour un traitement plus complexe des expressions en analyse.