Intégration par Parties

Introduction à une méthode spéciale d'intégration

L'intégration par parties (latin : per partes) est l'une des techniques les plus importantes pour calculer les intégrales indéfinies. Elle est basée sur la règle du produit pour la différentiation et permet de résoudre des intégrales où l'intégrande est un produit de deux expressions qui ne sont pas indépendamment faciles à intégrer.

Formule pour l'intégration par parties

Soit f(x)g(x) le produit de deux fonctions différentiables. Alors :

∫f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) - ∫f′(x)g(x) dx.

Dans une forme plus couramment utilisée, la formule est généralement écrite comme :

∫u dv = u * v - ∫v du,

où :

• u est la fonction que nous différencions (donc du = u′ dx),
• dv est la fonction (ou partie de l'intégrande incluant dx) que nous intégrons (donc v = ∫dv).

Le succès de la méthode repose sur un choix intelligent de 'u' et 'dv' tel que l'intégrale ∫v du devienne plus simple que l'intégrale originale ∫u dv.

Choix des fonctions u et dv

Pour choisir les fonctions, la règle LIATE est souvent considérée comme une ligne directrice (fonctions Logarithmiques, Inverses trigonométriques, Algébriques, Trigonométriques, Exponentielles), où les fonctions plus haut dans la liste sont des choix préférés pour 'u'. C'est parce que les dérivées des fonctions logarithmiques et inverses trigonométriques sont algébriques, et les fonctions algébriques deviennent plus simples lorsqu'elles sont différenciées de façon répétée. Les fonctions exponentielles et trigonométriques alternent souvent lorsqu'elles sont différenciées ou intégrées.

Exemple : ∫x * e^x dx

Choisir :

• u = x → du = dx
• dv = e^x dx → v = ∫e^x dx = e^x

Appliquer la formule :

∫x * e^x dx = x * e^x - ∫e^x * dx = x * e^x - e^x + C

Solution : ∫x * e^x dx = e^x(x - 1) + C.

Exemple : ∫ln(x) dx

Ici, nous utilisons une forme spéciale où ln(x) est traité comme 'u', et 'dv' est pris comme 'dx'. Nous écrivons ∫ln(x) dx comme : ∫ln(x) * 1 dx.

Choisir :

• u = ln(x) → du = (1/x) dx
• dv = 1 dx → v = ∫1 dx = x

Il s'ensuit :

∫ln(x) dx = x * ln(x) - ∫x * (1/x) dx = x * ln(x) - ∫1 dx = x * ln(x) - x + C.

Conclusion

L'intégration par parties est une méthode clé pour résoudre des intégrales de produits de fonctions. Avec la règle ∫u dv = u*v - ∫v du, nous transformons une intégrale plus difficile en une plus facile, où le succès de la méthode dépend du choix correct des fonctions 'u' et 'dv'. Cette technique est souvent utilisée plusieurs fois de suite ou en combinaison avec d'autres méthodes d'intégration.