Fonction Logarithme

Définition et Forme Générale

La fonction logarithme est la fonction réciproque (l'inverse) de la fonction exponentielle. Elle répond à la question : "À quelle puissance faut-il élever la base a pour obtenir le nombre x ?". Elle se note sous la forme : f(x) = logₐ(x). Dans cette expression, a est la base du logarithme. Elle doit être un nombre réel strictement positif et différent de 1 (a > 0 et a ≠ 1). La fonction est définie uniquement pour des valeurs de x strictement positives (x > 0).

La relation fondamentale entre le logarithme et l'exponentielle est : y = logₐ(x) est strictement équivalent à aʸ = x. Par exemple, log₂(8) = 3 car 2³ = 8.

Propriétés Fondamentales

Les fonctions logarithmes possèdent des caractéristiques clés qu'il faut connaître.

• Ensemble de définition : Le domaine est l'ensemble des nombres réels strictement positifs, noté ]0, +∞[. On ne peut pas calculer le logarithme d'un nombre négatif ou de zéro.
• Ensemble image : L'image est l'ensemble de tous les nombres réels (ℝ). Le résultat d'un logarithme peut être n'importe quel nombre.
• Asymptote verticale : La droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale. Le graphique s'en approche infiniment sans jamais la toucher.
• Point de passage commun : Toutes les fonctions f(x) = logₐ(x) passent par le point (1, 0), car pour n'importe quelle base a, a⁰ = 1, ce qui signifie que logₐ(1) = 0.

Comportement de la Fonction : Le Rôle de la Base a

La valeur de la base a détermine si la fonction est croissante ou décroissante.

• Si a > 1 (ex: log₂, log, ln), la fonction est strictement croissante. Plus x est grand, plus son logarithme est grand.
• Si 0 < a < 1 (ex: log₀.₅), la fonction est strictement décroissante. Plus x est grand, plus son logarithme est petit.

Les Logarithmes Courants

Deux bases de logarithmes sont si courantes qu'elles ont leur propre notation.

• Le logarithme décimal (log) : Il s'agit du logarithme de base 10 (log₁₀). Il est très utilisé en sciences, comme en chimie pour le pH ou en physique pour les décibels.
• Le logarithme népérien (ln) : Il s'agit du logarithme de base e (logₑ), où e ≈ 2,718 est le nombre d'Euler. C'est le logarithme le plus important en analyse mathématique car il est la réciproque de la fonction exponentielle naturelle eˣ.

Exemple de Calcul

Prenons la fonction f(x) = log₂(x) :

• f(1) = log₂(1) = 0 (car 2⁰ = 1)
• f(2) = log₂(2) = 1 (car 2¹ = 2)
• f(8) = log₂(8) = 3 (car 2³ = 8)
• f(0.5) = log₂(1/2) = -1 (car 2⁻¹ = 1/2)

Conclusion

La fonction logarithme est un outil essentiel en mathématiques. Elle permet de résoudre des équations où l'inconnue est en exposant et de manipuler des grandeurs qui s'étendent sur plusieurs ordres de magnitude. En tant qu'image miroir de la fonction exponentielle, elle est indispensable pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance "lente" et constitue une pierre angulaire de l'analyse mathématique.