Variations en Combinatoire

Introduction aux sélections ordonnées

En combinatoire, les variations sont utilisées pour compter les façons possibles d'organiser un nombre choisi d'éléments à partir d'un ensemble plus grand où l'ordre est important. Cette approche est cruciale pour des tâches comme le classement, le codage, la création de mots de passe ou l'attribution de places assises, en particulier lorsqu'il importe de savoir qui est premier, deuxième, troisième, et ainsi de suite.

Avec les variations, il n'est pas nécessaire d'utiliser tous les éléments de l'ensemble. À partir d'un ensemble avec n éléments, nous choisissons k éléments (où k <= n) et les organisons dans une séquence ordonnée.

Variations sans répétition

Lorsque nous n'autorisons pas la répétition d'éléments, nous parlons de variations sans répétition. Le nombre de ces variations est noté V(n, k) et est calculé à l'aide de la formule :

V(n, k) = n * (n - 1) * (n - 2) * … * (n - k + 1)

Ou, écrit avec des factorielles :

V(n, k) = n! / (n - k)!

EXEMPLE : Combien de nombres différents à deux chiffres peuvent être formés en utilisant les chiffres 1 à 5, sans répétition ?

• n = 5 (nombre de chiffres disponibles)
• k = 2 (nous formons des nombres à deux chiffres)

V(5, 2) = 5 * 4 = 20

Variations avec répétition

Si la répétition est autorisée, alors chacune des k positions peut être remplie avec n'importe lequel des n éléments, indépendamment de ce qui a déjà été choisi.

La formule pour les variations avec répétition est :

V'(n, k) = n^k

EXEMPLE : Combien de nombres différents à deux chiffres peuvent être formés en utilisant les chiffres 1 à 5 si la répétition est autorisée ?

• n = 5
• k = 2

V'(5, 2) = 5^2 = 25

Différence entre variations et permutations

• Dans les permutations, nous organisons tous les éléments (k = n).
• Dans les variations, nous organisons seulement un sous-ensemble des éléments (k < n).
• Dans les deux cas, l'ordre est important.

EXEMPLE : Étant donné l'ensemble {A, B, C}, donc n = 3 :

• Permutations (k = 3) : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA → 3! = 6
• Variations sans répétition (k = 2) : AB, AC, BA, BC, CA, CB → V(3, 2) = 6

Utilisations pratiques

Les variations apparaissent dans divers contextes :

• Détermination des mots de passe ou codes possibles.
• Classement des finalistes en fonction de leurs positions d'arrivée.
• Formation de combinaisons de cartes, de nombres ou de symboles où l'ordre joue un rôle.

Conclusion

Les variations sont un outil fondamental en combinatoire pour gérer la sélection ordonnée d'un nombre plus petit d'éléments à partir d'un ensemble donné. Nous distinguons les cas avec et sans répétition, mais dans chaque scénario, le point clé à retenir est que l'ordre des éléments sélectionnés n'est pas négligeable et impacte directement le résultat final.