Combinaisons

Introduction aux sélections non ordonnées

En combinatoire, les combinaisons représentent une façon de sélectionner des éléments à partir d'un ensemble donné où l'ordre n'a pas d'importance. Cela signifie que les sélections comme {A, B, C} et {C, B, A} sont considérées comme la même combinaison. Les combinaisons sont souvent utilisées pour compter les possibilités dans les cas où l'ordre n'est pas pertinent – par exemple, lors du tirage de numéros de loterie, de la sélection de personnes pour un groupe ou du choix de plats dans un menu.

Si nous sélectionnons k éléments à partir d'un ensemble de n éléments distincts, où l'ordre n'a pas d'importance et les éléments sont choisis sans répétition, nous parlons de combinaisons sans répétition.

Combinaisons sans répétition

Le nombre de toutes ces combinaisons est noté C(n,k) ou (n parmi k), qui est calculé par la formule :

C(n,k) = n! / [k! * (n - k)!]

Cette formule tient compte de tous les arrangements possibles (n!/(n-k)!) puis les divise par le nombre d'ordonnancements possibles des k éléments choisis (k!), puisque nous ne nous intéressons pas à l'ordre.

Exemple : Calcul de combinaisons sans répétition

Combien d'équipes différentes de 3 personnes peuvent être formées à partir de 5 personnes ?

n=5 (total de personnes), k=3 (membres de l'équipe)

C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = 120 / (6 * 2) = 10

Il y a 10 équipes différentes de 3 personnes qui peuvent être formées à partir de 5 personnes.

Combinaisons avec répétition

Si nous autorisons la répétition d'éléments dans la sélection, nous utilisons les combinaisons avec répétition, notées C'(n,k). La formule est :

C'(n,k) = C(n+k-1,k) = (n+k-1)! / [k! * (n-1)!]

Cela signifie que nous avons plus de possibilités puisque le même élément peut être choisi plusieurs fois.

Exemple : Calcul de combinaisons avec répétition

De combien de façons peut-on choisir 4 fruits (k=4) parmi 3 types différents de fruits (n=3), si la répétition est autorisée ?

C'(3,4) = C(3+4-1,4) = C(6,4) = 15

Il y a 15 façons de choisir 4 fruits parmi 3 types différents lorsque la répétition est autorisée.

Combinaisons vs variations : différences clés

Comprendre la distinction entre combinaisons et variations est fondamental en combinatoire :

• Combinaisons : L'ordre des éléments sélectionnés n'a pas d'importance.
• Variations : L'ordre des éléments sélectionnés a de l'importance.

Les deux types ont également des formes avec et sans répétition.

Exemple illustratif à partir de l'ensemble {A, B, C} :

Considérons le choix de k=2 éléments à partir de l'ensemble {A, B, C} :

• Combinaisons (k=2) : AB, AC, BC → 3 possibilités (Note : BA est identique à AB)
• Variations (k=2) : AB, BA, AC, CA, BC, CB → 6 possibilités (Note : BA est différent de AB)

Utilisations pratiques des combinaisons

Les combinaisons sont appliquées dans divers scénarios du monde réel, notamment :

• Tirages de loterie : Calculer la probabilité de gagner en fonction de la sélection de numéros où l'ordre n'a pas d'importance.
• Formation de comités, équipes ou groupes : Où l'arrangement des individus au sein du groupe n'est pas pertinent.
• Choix d'articles où la séquence n'est pas importante : Comme choisir des garnitures pour une pizza ou sélectionner des livres sur une étagère.
• Calculs de probabilité : Particulièrement dans les scénarios impliquant un échantillonnage sans remplacement où la séquence de sélection n'affecte pas le résultat.

Conclusion : maîtriser le comptage combinatoire

Les combinaisons sont une méthode de comptage fondamentale pour les cas où nous sélectionnons sans considérer l'ordre. Le nombre de toutes les combinaisons est toujours inférieur au nombre de variations du même ensemble, car les permutations au sein du même groupe sont comptées comme une seule instance. Connaître les différences entre combinaisons, permutations et variations est crucial pour un comptage précis dans diverses situations combinatoires.